\singlespacing scheint zusätzlichen vertikalen Platz einzufügen. Zumindest bekomme ich bei dessen Verwendung eine zusätzliche Warnung wegen zu geringer Kopfzeilenhöhe und diese wird dann von scrlayer-scrpage automatisch ein zweites Mal vergrößert. Statt \singlespacing sollte deshalb vielleicht besser \setstretch{1} verwendet werden.
Und, auch wenn es weniger auffällt, Du hast das gleiche Problem mit der Seitennummer in der Fußzeile. Das kann man leicht sehen, wenn man das Paket showframe zum Anzeigen des Seitenlayouts lädt. In der Fußzeile scheint das nicht einfach mit \setstretch{1} im Argument von \ofoot korrigierbar zu sein.
Es empfiehlt sich deshalb schon beim Initialisieren der Ausgabe des Seitenstils auf einzeilig umzuschalten:
Code:
\KOMAoptions{onpsinit=\setstretch{1}}
Außerdem kann man \lehead[]{\leftmark}\rohead[]{\rightmark} durch \ohead{\headmark} ersetzen. Analog für die Fußzeile \ofoot*{\pagemark}. Der Stern sorgt dabei dafür, dass die Einstellung auch für den plain Stil übernommen wird.
Code:
\documentclass[
12pt, % Schriftgröße
DIV=9,
paper=a4, % Papierformat
twoside=true, % einseitiges Dokument
headings=big, % Grˆfle der Überschriften verkleinern
]{scrbook}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage{setspace}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{blindtext}
\usepackage{showframe}% Anzeigen des Seitenlayouts
\usepackage[draft=false, headsepline]{scrlayer-scrpage}
\KOMAoptions{onpsinit=\setstretch{1}}
\ohead{\headmark}
\ofoot*{\pagemark}
\begin{document}
\begin{spacing}{1.5}
% % % ODER:
%\onehalfspacing
\Blinddocument
\Blinddocument
\end{spacing}
\end{document}
Gruß
Elke
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