Wobei, wenn man etwas schummelt, funktioniert das auch mit 0° und 360°:
Code:
xshift=2.9999cm, x=1.50005cm
bei den Optionen für die Sinuskurve sorgt dafür, daß diese 1 µm vorher anfängt und 1 µm später aufhört, etwaige Rundungsfehler außer Acht gelassen. Selbst das Zehnfache davon wäre nicht wahrnehmbar.

Der Kosinus lässt sich dazu analog abbilden:
Code:
\documentclass[tikz]{standalone}

\usetikzlibrary{intersections}

\newcounter{angle}
\setcounter{angle}{60}
\newlength\xperdeg
\setlength\xperdeg{0.166667mm}% Breite der Sinuskurve / Vollkreis (6cm/360°)

\begin{document}
  \begin{tikzpicture}
    \draw[black!20] (0,1.5) -- +(4.5,0) %Projektierungslinien
      (0,-1.5) -- +(7.5,0)
      (2,0) -- (3,0)
      (-1.5,0) -- +(0,-6)
      (1.5,0) -- +(0,-9)
      (0,-2) -- (0,-3);
    \draw[thick,->] (-2,0)--(2,0) node[below] {$x$}; 
    \draw[thick,->] (0,-2)--(0,2) node[left] {$y$};
    \draw[red,thick] (0,0) circle (1.5cm);
    \draw (1.6,0) node[red, below]{1};
    \draw (0,1.65) node[red,left]{1};
%
    \draw[ultra thick,cyan] (0,0) -- (0,0 |- \theangle:1.5cm); % Siehe `texdoc pgfmanual', Abschnitt ``Intersections of Perpendicular Lines''
    \draw[ultra thick,orange] (0,0) -- (\theangle:1.5cm |- 0,0);
%
    \draw[densely dotted,orange] (\theangle:1.5cm) -- (\theangle:1.5cm |- 0,0); 
    \draw[densely dotted,cyan] (\theangle:1.5cm) -- (0,0 |- \theangle:1.5cm); 
    \draw[ultra thick,red,->,rotate=\theangle] (0,0) -- (1.5,0);
        
    \draw[->] (0.5,0)  arc [start angle=0, delta angle=\theangle, radius=0.5cm];
%    \draw (0.75,0.25) node[anchor= south west]{$\;\varphi = \omega t + \varphi_0$};
        
    \draw[orange] (2,2) node {\theangle$^\circ$};
    \fill[black] (0,0) circle (1mm);
        
    \draw[->] (3,-2) -- +(0,4) node[left]{$y$};% für die Sinuskurve
    \draw[->] (3,0) -- +(6.5,0) node[below]{$t$};
    \draw[->] (-2,-3) -- +(4,0) node[above]{$y$};% für die Kosinuskurve
    \draw[->] (0,-3) -- +(0, -6.5) node[left]{$t$};
    \draw[blue,xshift=2.9999cm, x=1.50005cm, y=1.5cm, name path=sine curve] (0,0) sin (1,1) cos (2,0) sin (3,-1) cos (4,0);
    \draw[red, yshift=-2.9999cm, rotate=-90, x=1.50005cm, y=1.5cm, name path=cosine curve] (0,1) cos (1,0) sin (2,-1) cos (3,0) sin (4,1);
    \path[name path=proj sline] (\theangle\xperdeg, -2) ++(3,0) -- +(0,4);
    \path[name path=proj cline] (-2, -\theangle\xperdeg) ++(0,-3) -- +(4,0);
    \draw[name intersections={of=sine curve and proj sline}, cyan]
      (3,0) +(\theangle\xperdeg,0) -- (intersection-1) -- (\theangle:1.5cm);
    \draw (intersection-1) circle[radius=0.5mm];
    \draw[name intersections={of=cosine curve and proj cline}, orange]
      (0,-3) +(0,-\theangle\xperdeg) -- (intersection-1) -- (\theangle:1.5cm);
    \draw (intersection-1) circle[radius=0.5mm];
  \end{tikzpicture}
        
\end{document}
Frohe Ostern