Nico123
09-05-2011, 07:49
Hi! Ich bin neu hier und habe direkt eine Frage, die ich mir nicht selber erklären kann.
Dazu erstmal ein kleines Beispiel, in dem der Fehler auftritt:
\documentclass[12pt,a4paper,bibliography=totoc,BCOR10mm]{scrbook}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{setspace}
\onehalfspacing
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{amsmath,amsthm,amsfonts,amssymb}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newtheorem{thm}{Theorem}
\newtheorem{lem}{Lemma}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\DD}{\textbf{D}}
\newcommand{\dd}{\mathbb{D}_{1,2}}
\newcommand{\EE}{\mathbb{E}}
\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\FF}{\mathcal{F}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\subsection{Clark - Ocone - formula}
Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text
For the proof we need the following lemma:
\begin{lem}
Let $f_n\in\tilde L^2([0,T]^n)$. Then:
\[ \EE[I_n(f_n)|\FF_G] = I_n\left[f_n \chi_G^{\otimes n}\right] \]
where $(f_n \chi_G^{\otimes n})(t_1,...,t_n)=f_n(t_1,...,t_n)\chi_G(t_1)\cdot. ..\cdot\chi_G(t_n)$.
\end{lem}
\begin{proof}
For the proof see [p. 33, Proposition 3.11]{DiNunno}.
\end{proof}
\begin{thm}
Let $F\in\dd$ be $\FF_T$ measurable. Then:
\[ F = \EE[F] + \int_0^T\EE[D_tF|\FF_t]dW(t). \]
\end{thm}
\begin{proof}
\begin{align*}
&\underset{\text{Thm.6}}{=} \int_0^T\EE\left[\sum_{n=1}^{\infty}nI_{n-1}(f_n(\cdot,t))|\FF_t\right]dW(t)\\
&=\int_0^T\sum_{n=1}^{\infty}n\EE[I_{n-1}(f_n(\cdot,t))|\FF_t]dW(t\\
&\underset{\text{Lemma 2}}{=} \int_0^T\sum_{n=1}^{\infty}nI_{n-1}\left(f_n(\cdot,t)\cdot\chi_{[0,t]}^{\otimes(n-1)}(\cdot)\right)dW(t)\\
&\underset{\text{Def.10}}{=} \int_0^T\sum_{n=1}^{\infty}n(n-1)!J_{n-1}\left(f_n(\cdot,t)\cdot\chi_{[0,t]}^{\otimes(n-1)}(\cdot)\right)dW(t)\\
&=\sum_{n=1}^{\infty}n!J_n(f_n(\cdot))\\
&\underset{\text{Def.10}}{=} \sum_{n=1}^{\infty}I_n(f_n(\cdot))\\
&=\sum_{n=0}^{\infty}I_n(f_n(\cdot)) - I_0(f_0)
\end{align*}
\end{proof}
\end{document}
Leider kann ich es nicht wirklich kürzen, da ich nicht weiß wo der Fehler ist. Beim Kompilieren (Windows, Miktex, TechnixCenter) enstehen dann seltsame Abstände vor "Lemma 1" und vor und nach "Proof.".
Sie entstehen nicht, wenn ich z.B. den Text kürze, den Beweis kürze oder auch "\onehalfspacing" deaktiviere. Ich verstehe also nicht, woran es liegt. Kann doch nicht sein, dass der Fehler mit verschiedenen Änderungen behoben werden kann!
Hat jemand eine Idee?
Danke!
Dazu erstmal ein kleines Beispiel, in dem der Fehler auftritt:
\documentclass[12pt,a4paper,bibliography=totoc,BCOR10mm]{scrbook}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{setspace}
\onehalfspacing
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{amsmath,amsthm,amsfonts,amssymb}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newtheorem{thm}{Theorem}
\newtheorem{lem}{Lemma}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\DD}{\textbf{D}}
\newcommand{\dd}{\mathbb{D}_{1,2}}
\newcommand{\EE}{\mathbb{E}}
\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\FF}{\mathcal{F}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\subsection{Clark - Ocone - formula}
Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text
For the proof we need the following lemma:
\begin{lem}
Let $f_n\in\tilde L^2([0,T]^n)$. Then:
\[ \EE[I_n(f_n)|\FF_G] = I_n\left[f_n \chi_G^{\otimes n}\right] \]
where $(f_n \chi_G^{\otimes n})(t_1,...,t_n)=f_n(t_1,...,t_n)\chi_G(t_1)\cdot. ..\cdot\chi_G(t_n)$.
\end{lem}
\begin{proof}
For the proof see [p. 33, Proposition 3.11]{DiNunno}.
\end{proof}
\begin{thm}
Let $F\in\dd$ be $\FF_T$ measurable. Then:
\[ F = \EE[F] + \int_0^T\EE[D_tF|\FF_t]dW(t). \]
\end{thm}
\begin{proof}
\begin{align*}
&\underset{\text{Thm.6}}{=} \int_0^T\EE\left[\sum_{n=1}^{\infty}nI_{n-1}(f_n(\cdot,t))|\FF_t\right]dW(t)\\
&=\int_0^T\sum_{n=1}^{\infty}n\EE[I_{n-1}(f_n(\cdot,t))|\FF_t]dW(t\\
&\underset{\text{Lemma 2}}{=} \int_0^T\sum_{n=1}^{\infty}nI_{n-1}\left(f_n(\cdot,t)\cdot\chi_{[0,t]}^{\otimes(n-1)}(\cdot)\right)dW(t)\\
&\underset{\text{Def.10}}{=} \int_0^T\sum_{n=1}^{\infty}n(n-1)!J_{n-1}\left(f_n(\cdot,t)\cdot\chi_{[0,t]}^{\otimes(n-1)}(\cdot)\right)dW(t)\\
&=\sum_{n=1}^{\infty}n!J_n(f_n(\cdot))\\
&\underset{\text{Def.10}}{=} \sum_{n=1}^{\infty}I_n(f_n(\cdot))\\
&=\sum_{n=0}^{\infty}I_n(f_n(\cdot)) - I_0(f_0)
\end{align*}
\end{proof}
\end{document}
Leider kann ich es nicht wirklich kürzen, da ich nicht weiß wo der Fehler ist. Beim Kompilieren (Windows, Miktex, TechnixCenter) enstehen dann seltsame Abstände vor "Lemma 1" und vor und nach "Proof.".
Sie entstehen nicht, wenn ich z.B. den Text kürze, den Beweis kürze oder auch "\onehalfspacing" deaktiviere. Ich verstehe also nicht, woran es liegt. Kann doch nicht sein, dass der Fehler mit verschiedenen Änderungen behoben werden kann!
Hat jemand eine Idee?
Danke!