Hier einmal ein Auszug aus meiner Hauptdatei:
Code:
\documentclass[draft]{scrartcl}
\usepackage[english, german]{babel}
\usepackage{amsthm, amssymb, amsmath}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{amscd}
\setlength{\parindent}{0cm}
\author{Andreas Backes}
\title{Charakterisierung subskalarer Operatoren \"uber dem Einheitskreis}
\begin{document}
\maketitle\thispagestyle{empty}
\newpage
\newtheorem{hilfs}{Hilfsatz}
\newtheorem{bemerk}{Bemerkung}[section]
\newtheorem{definition}[bemerk]{Definition}
\newtheorem{satz}[bemerk]{Satz}
\newtheorem{folg}[bemerk]{Folgerung}
\newtheorem{koro}[bemerk]{Korollar}
\newtheorem{lemma}[bemerk]{Lemma}
\newtheorem{bsp}[bemerk]{Beispiel}
\newlength{\splited}
\setlength{\splited}{.5\textwidth}
\newlength{\splitedthree}
\setlength{\splitedthree}{.3\textwidth}
\newcounter{beha}
\setcounter{beha}{1}
\section*{Einleitung}
\input{Einl_neu.tex}
\newpage
\setcounter{tocdepth}{1}
\tableofcontents
\newpage
\section{Erste Begriffskl"arungen\label{intro}}
\input{Intro_neu.tex}
\input{Bemerkungen.tex}
\addcontentsline{toc}{section}{Literatur}
\bibliographystyle{alpha}
\bibliography{erst}
\end{document}
Die File bemerkungen.tex:
Code:
\begin{lemma} Seien $X,Y,Z \neq \{0\}$ nicht triviale Banachr"aume.
\begin{enumerate}[a)]
\item F"ur $T\in B(X,Y)$ gilt
$$ m(T)=\max\{ \alpha \geq 0: \alpha\|x\| \leq \|Tx\| \text{ f"ur alle } x\in X \}.$$
\item Ist $S\in B(Y,Z)$ invertierbar, so gilt
$$ m(S)=\|S^{-1}\|^{-1}.$$
\item F"ur Operatoren $S \in B(Y,Z)$ und $T \in B(X,Y)$ gilt
$$ m(ST) \geq m(S)m(T).$$
\item Ein Operator $T\in B(X,Y)$ ist genau dann injektiv mit abgeschlossenem Bild, wenn $m(T)>0$.
\end{enumerate}
\label{minmodequi}
\end{lemma}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[a)]
\item Man beachte, dass das Maximum auf der rechten Seite wohldefiniert ist. Zun"achst folgt aus
$$\|Tx\| \leq \|T\|\|x\| \hspace{1cm} (x \in X)$$
dass die Menge der $\alpha \geq 0$ wie oben beschr"ankt ist. Sei weiter $(\alpha_n)_{n\in\mathbb{N}}$ eine Folge aus der Menge dieser $\alpha \geq 0$, die gegen $\alpha$ konvergiert. Dann gilt
$$ \alpha_n \|x\| \leq \|Tx\|$$
f"ur alle $n\in\mathbb{N}$ und somit auch
$$ \alpha \|x\|= \lim_{n \rightarrow \infty} \alpha_n \|x\| \leq \|Tx\|.$$
Daraus erhalten wir, dass die auch Menge abgeschlossen, also kompakt ist. Somit existiert das Maximum. Zur Abk"urzung bezeichnen wir dieses Maximum mit $M$.\\
Dann gilt f"ur alle $x\in X$ mit $\|x\|=1$
$$\|Tx\| \geq M\|x\|= M$$
und somit
$$m(T) \geq M.$$
Die umgekehrte Ungleichung folgt direkt aus der Tatsache, dass f"ur $x \in X\backslash\{0\}$ die Absch"atzung
\begin{eqnarray*}
m(T)\|x\| &=& \inf\{\|Ty\|: \|y\|=1\}\|x\| \\
&\leq& \|T\frac{x}{\|x\|}\| \|x\|=\|Tx\| \\
\end{eqnarray*}
gilt.
\item F"ur alle $y \in Y$ gilt
$$\|y\| = \|S^{-1} S y\| \leq \|S^{-1}\| \|Sy\|.$$
Daraus folgt
$$ \|S^{-1}\|^{-1} \|y\| \leq \|Sy\| $$
f"ur alle $y \in Y$ und wir erhalten
$$ \|S^{-1}\|^{-1} \leq m(S).$$
Auf der anderen Seite gilt f"ur $y\in Y \backslash \{0\}$, dass
$$\|Sy\| \geq m(S) \|y\| = m(S) \|S^{-1}Sy\|$$
und somit
$$1 \geq m(S)\left\|S^{-1} \frac{Sy}{\|Sy\|} \right\|.$$
Da $S$ surjektiv ist, erhalten wir
$$ 1 \geq m(S) \|S^{-1}\|$$
und schlie\ss lich
$$\|S^{-1}\|^{-1} \geq m(S).$$
\item Sei $x \in X$. Dann gilt
$$\|STx\| \geq m(S)\|Tx\| \geq m(S)m(T)\|x\|.$$
Aus Teil a) folgt nun
$$ m(ST) \geq m(S)m(T).$$
\item Sei $m(T)>0$. Angenommen $T$ sei nicht injektiv. Dann gibt es ein $x\in X$ mit $x\neq 0$ so, dass
$$Tx=0.$$
Somit gilt
$$\left\|T\frac{x}{\|x\|}\right\| = 0.$$
Dies liefert $m(T)=0$ und somit ein Wiederspruch. Also ist $T$ injektiv.\\
Desweiteren sei
$$T_0:X \rightarrow TX, T_0x=Tx.$$
Dann ist $T_0$ offensichtlich bijektiv und stetig. F"ur die Umkehrabbildung gilt
$$\|x\|=\|T_0T^{-1}_0x\| \leq m(T)\|T^{-1}_0x\|.$$
Daraus folgt
$$\|T^{-1}_0x\| \leq m(T)^{-1}\|x\|$$
und damit ist $T^{-1}_0$ stetig. Somit ist $T_0$ ein topologischer Isomorphismus und folglich $TX\subset Y$ ein Banachraum, insbesondere abgeschlossenen.\\
F"ur die R"uckrichtung sei $T\in B(X)$ injektiv und $TX\subset Y$ abgeschlossen. Dann ist
$$T_0:X\rightarrow TX, T_0x=Tx$$
ein bijektiver stetig linearer Operator zwischen Banachr"aumen. Nach dem Prinzip der stetigen Inversen ist die Umkehrabbildung $T_0^{-1}:TX \rightarrow X$ stetig und es gilt
$$\|x\|=\|T_0^{-1}Tx\| \leq C_0\|Tx\|.$$
Daraus folgt
$$\|Tx\|\geq C_0\|x\|$$
und wegen Teil a)
$$m(T)>0.$$
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{bemerk}
Sei $T\in B(X)$. Dann gilt
\begin{enumerate}[a)]
\item F"ur $|\lambda| > \|T\|$ ist $R(\lambda,T) = \sum\limits_{n\in\mathbb{N}_0} \frac{T^n}{\lambda^{n+1}}$.
\item $R(z,T)$ konvergiert gegen $0$ f"ur $|z|\rightarrow \infty$.
\end{enumerate}
\label{resentw}
\end{bemerk}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[a)]
\item F"ur $|\lambda| > \|T\|$ gilt
$$(\lambda - T)^{-1} = \frac{1}{\lambda}\left(1-\frac{T}{\lambda}\right)^{-1}.$$
Da $\frac{\|T\|}{|\lambda|} < 1$ folgt mit der Neumann-Reihe
$$ \frac{1}{\lambda}\left(1-\frac{T}{\lambda}\right)^{-1} = \frac{1}{\lambda} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{T^n}{\lambda^n} = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{T^n}{\lambda^{n+1}}.$$
Nach dem Weierstra\ss schen Majorantenkriterium konvergiert diese Reihe kompakt gleichm"a\ss ig auf $\{\lambda \in \mathbb{C}: |\lambda| > \|T\|\}$.
\item Die obige Reihendarstellung impliziert, dass f"ur $|z| > \|T\|$ gilt
$$\|R(z,T)\| \leq \frac{1}{|z|} \sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac{\|T\|}{|z|}\right)^n = \frac{1}{|z|} \frac{1}{1-\frac{\|T\|}{|z|}} \stackrel{|z| \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0.$$
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{lemma}
Sei $T\in B(X)$ mit $\sigma(T) \subset \mathbb{T}$ und sei $|\lambda|<1$. Dann gilt
$$R(\lambda,T)= - \sum\limits_{n\in\mathbb{N}_0} \lambda^n T^{-(n+1)}$$
\end{lemma}
\begin{proof}
Sei $\Phi$ der holomorphe Funktionalkalk"ul f"ur $T$. Dann gilt
$$R(\lambda,T)=(\lambda-T)^{-1}=\Phi\left(\frac{1}{\lambda-z}\right).$$
Da $|\lambda|<1$ ist, finden wir eine reelle Zahl $r$ mit $|\lambda|
In den eingebundenen Files "Einl_neu.tex$ sowie "Intro_neu.tex" wird kein Fehler gemeldet, obwohl es dort auc hgenügend matheamtische Formeln gibt. Der erste Fehler der Auftaucht:
(Bemerkungen.tex [8]
! Missing $ inserted
$
l. 54
(musste das jetzt so abtippen... mein TeXnicscenter lässt mich Fehlermeldungen nicht kopieren)
Kann jmd was damit anfangen? Es gibt da keinen Fehler!
Probleme zwischen Windows und Linux
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Zitat von Ribbit
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