Das würde ich nicht mit fancyhdr, sondern mit scrpage2 machen, welches sich besser mit den KOMA-Klassen verträgt und im scrguide dokumentiert ist.
Der Kapitelname ist normalerweise in \leftmark gespeichert
Du hast in deinem Minimalbeispiel jedoch lauter Kapitelanfangsseiten, die normalerweise den plain-Seitenstil (ohne Kopfzeile) haben. Um auch diese zu erreichen, muss bei \lohead usw. jeweils auch in eckigen Klammern etwas angegeben werden. Du solltest dir aber überlegen, ob du das wirklich willst. Eine Kopfzeile mit dem Kapitelnamen direkt über der Kapitelüberschrift sieht ein bisschen blöd aus. Sonst lass die eckigen Klammern jeweils leer bzw. weg, dann hast du die Kpofzeile nur auf den normalen Seiten (von denen aber keine in deinem Minimalbeispiel vorkommt).
Code:
\documentclass{scrreprt}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{pdfpages}
\usepackage{scrpage2}
\lohead[\leftmark]{\leftmark}
\cohead[was anderes]{was anderes}
\pagestyle{scrheadings}
%\hyphenation{} für Silbentrennung wenn nötig
\newcounter{romanPagenumber}
\pagenumbering{roman}
\begin{document}
\tableofcontents
\chapter{Einleitung}
\clearpage
\setcounter{romanPagenumber}{\value{page}}
\pagenumbering{arabic}
\setcounter{page}{\theromanPagenumber}
\chapter{Theoretischer Hintergrund}
\chapter{Versuchsaufbau}
\chapter{Anhang}
\clearpage
\end{document}
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